universitas cokro aminoto jurusan matematika kls.e: Operasi Matriks

1. Penjumlahan Dan Pengurangan Matriks
Syarat : ukuran matrik harus sama.
Jika A = (aij) dan B = (bij), matrik berukuran sama,
maka A + B/ A – B adalah suatu matrik C = (cij)
dimana cij = aij + bij / aij – bij untuk setiap i dan j
contoh :

Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks
1) A + B = B = A , Sifat Komutatif
2) (A + B) + C = A + ( B + C) , Sifat Asosiatif
3) A + 0 = 0 + A = A , Sifat Identitas tambah

2. Perkalian Bilangan Real Dengan Matriks
Jika A suatu ordo m x n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA adalah metriks ordo m x n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar.
Jadi

Contoh :

Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.

Jika a dan b bilangan real, maka :
1) ( a + b )A = aA + bA
2) a ( A + B ) = aA + aB
3) a( bA ) = (ab)A

3. Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dengan $ad - bc \neq 0$ , maka invers dari matriks A (ditulis $A^{-1}$ ) adalah sebagai berikut:

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

- $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
- $(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$
- $(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh: Tentukan invers dari matriks berikut!

$\begin {array} {lcl} A & = & \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \frac {1}{2 \times 3 - 1 \times 5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{6-5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\end{array}$

4. Determinan

Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi. Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ , maka rumus untuk mencari determinan matriks berordo 2×2:

$det A = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Sedangkan untuk mencari determinan matriks berordo 3×3 menggunakan aturan Sarrus.

$A_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}$

$\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = && a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & - & a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{array}$

Contoh: Tentukan determinan dari matriks berikut!

$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 1 \times 5 = 6 - 5 = 1$

$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix} B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}$

$\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix} & = & 1.3.3 + 2.4.1 + 3.1.4 - 1.3.3 - 4.4.1 - 3.1.2 \\ & = & 9 + 8 + 12 - 9 - 16 - 6 \\ & = & -2 \end{array}$